Question

如图，已知△ABC中，AB=BC，∠ABC=90°，把一块含30°角的直角三角板DEF的直角顶点D放在AC的中点上（直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF），将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转至如图的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，
求证：DM=DN．

Answer

连结DB，求出∠A=∠ACB=45°，∠DCN=135°，BD=DC=AD，BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=45°，求出∠DBM=135°=∠DCN，∠BDM=∠CDN，根据ASA推出△CDN≌△BDM即可．
证明：连结DB，
∵AB=BC，∠ABC=90°，
∴∠A=∠ACB=45°，
∴∠DCN=90°+45°=135°，
∵AB=BC，D为AC中点，
∴BD=DC=AD，BD⊥AC，∠DBC=∠ABC=45°，
∴∠DBM=90°+45°=135°=∠DCN，
∵∠BDC=∠MDN=90°，∠MDC=∠MDC，
∴∠BDM=∠CDN，
∵在△CDN和△BDM中，
，
∴△CDN≌△BDM（SAS），
∴DM=DN．