Question

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，BC=2AD．DE⊥BC，垂足为点F，且F是DE的中点，联结AE，交边BC于点G．
（1）求证：四边形ABGD是平行四边形；
（2）如果AD=，求证：四边形DGEC是正方形．

Answer

（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得DC=EC，根据等边对等角可得∠DCF=∠ECF，再求出∠B=∠ECF，然后根据内错角相等，两直线平行求出AB∥EC，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对角线互相平分求出BG=CG=BC，然后求出AD=BG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判定即可；
（2）根据平行四边形的对边平行且相等可得AB∥DG，AB=DG，然后求出DG∥EC，DG=EC，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形求出四边形DGEC是平行四边形，再根据邻边相等的四边形是菱形判定为菱形，然后根据勾股定理逆定理求出∠GDC=90°，根据一个角是直角的菱形是正方形证明．
证明：（1）∵DE⊥BC，且F是DE的中点，
∴DC=EC，
即得∠DCF=∠ECF，
又∵AD∥BC，AB=CD，
∴∠B=∠DCF，AB=EC，
∴∠B=∠ECF，
∴AB∥EC，
又∵AB=EC，
∴四边形ABEC是平行四边形，
∴BG=CG=BC，
∵BC=2AD，
∴AD=BG，
又∵AD∥BG，
∴四边形ABGD是平行四边形；

（2）∵四边形ABGD是平行四边形，
∴AB∥DG，AB=DG，
又∵AB∥EC，AB=EC，
∴DG∥EC，DG=EC，
∴四边形DGEC是平行四边形，
又∵DC=EC，
∴四边形DGEC是菱形，
∴DG=DC，
由AD=AB，即得CG=DC=DG，
∴DG2+DC2=CG2，
∴∠GDC=90°，
∴四边形DGEC是正方形．