利用P点在双曲线y=上且以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切求出P点,再利用向量的垂直时的性质列出OE与OF之间的关系即可.
作过切点的半径,构造全等三角形,寻找与结论或条件中有关联的等量线段,从而逐步探究未知结果.
【解析】
法一:设E(0.y),F(x,0)其中y<0,x>0
∵点P在双曲线y=上,以P为圆心的⊙P与两坐标轴都相切
∴P(,)
又∵PF⊥PE
∴由向量垂直性质可得×(-y)+×(-x)=0
∴x+y=2
又∵OE=|y|=-y,OF=x
∴OF-OE=x+y=2.
法二:设⊙P与x和y轴分别相切于点A和点B,连接PA、PB.则PA⊥x轴,PB⊥y轴.并设⊙P的半径为R.
∴∠PAF=∠PBE=∠APB=90°,
∵PF⊥PE,
∴∠FPA=∠EPB=90°-∠APE,
又∵PA=PB,
∴△PAF≌△PBE(ASA),
∴AF=BE
∴OF-OE=(OA+AF)-(BE-OB)=2R,
∵点P的坐标为(R,R),
∴R=,
解得R=或-(舍去),
∴OF-OE=2.
故答案为:2.