Question

如图，正方形ABCD中，点E是AD的中点，点P是AB上的动点，PE的延长线与CD的延长线交于点Q，过点E作EF⊥PQ交BC的延长线于点F．给出下列结论：
①△APE≌△DQE；
②点P在AB上总存在某个位置，使得△PQF为等边三角形；
③若tan∠AEP=，则．
其中正确的是（ ）

A．①
B．①③
C．②③
D．①②③

Answer

①由四边形ABCD是正方形可以得出∠A=∠ADC=90°，可以求出∠ADQ=90°，得到∠A=∠ADQ，由点E是中点可以得到AE=DE，再有对顶角相等就可以得出△APE≌△DQE；
②作EG⊥CD于G，EM⊥BC于M易证Rt△EFM≌Rt△PQG，根据全等三角形的性质推出EF=MG，即可判断②；
③由tan∠AEP=可以得出=，设AP=2a，AE=3a，由（1）得ED=3a，进而可以得出DR=4.5a，CR=1.5a，CF=a，根据三角形的面积公式分别表示出S△APE，S△PBF就可以得出结论．
【解析】
①∵四边形ABCD是正方形
∴AB=BC=CD=QD，∠A=∠B=90°，
∵E为AD中点，
∴AE=ED．
在△AEP和△DFQ中
∵，
∴△AEP≌△DFQ，故①正确；
②作EG⊥CD于G，EM⊥BC于M，
∴∠PGQ=∠EMF=90°．
∵EF⊥PQ，
∴∠PEF=90°，
即∠PEH+∠HEF=90°，
∵∠HPE+∠HEP=90°，
∴∠HPE=∠HEF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴PG=EM．
在△EFM和△PQG中
∵，
∴△EFM≌△PQG，
∴EF=PQ，
∴在Rt△PEF中，PF＞EF，
∴PF＞PQ，
∴△PQF不能为等边三角形，故②错误；
③∵△AEP≌△DFQ，
∴AE=ED，
∵tan∠AEP==，设AP=2a，AE=3a，
∴ED=3a．
∴AD=6a．
∵∠AEP+∠DEF=90°，∠DEF+∠DRE=90°，
∴tan∠DRE==，
∴DR=4.5a，
∴CR=1.5a．
∵∠CRF=∠DRE，
∴tan∠ERF==，
∴CF=a．
∴BF=7a，BP=4a，
∴S△APE=（2a.3a）=3a，S△PBF=（4a.7a）=14a，
∴，故③正确．
故选B．