(1)过D作DP垂直于x轴,DQ垂直于y轴,由D的坐标得出DP与DQ的长,四边形ABCD为正方形,得到四个角为直角,四条边相等,由同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,且AD=AB,利用AAS得到三角形ADQ与三角形AOB全等,由全等三角形的对应边相等得到QD=AO,AQ=OB,求出OA与OB的长,在直角三角形AOB中,利用勾股定理求出AB的长,即为正方形ABCD的边长,再由直角三角形ADM中,DQ垂直于AM,得到三角形MDQ与三角形AOD相似,由相似得比例,将各自的值代入求出MQ的长,由MQ+OQ求出OM的长,即可确定出M的坐标;
(2)由同角的余角相等得到一对角相等,再由一对直角相等,得到△AOB与△BA1B1相似,由相似得比例,将各自的值代入求出A1B1的长,即为正方形A1B1C1C的边长,同理求出A2B2C2C1的边长,以此类推,即可得到正方形AnBnCnCn-1的边长.
【解析】
(1)过D作DP⊥x轴于P,DQ⊥y轴于Q,
∵D(3,7),
∴DP=7,DQ=3,
∵四边形ABCD正方形,
∴∠ADC=∠DAB=∠ABC=90°,AD=AB=BC=DC,
∴∠DAQ+∠BAO=90°,又∠DAQ+∠ADQ=90°,
∴∠BAO=∠ADQ,
在△ADQ和△ABO中,
,
∴△ADQ≌△BAO(AAS),
∴DQ=AO=3,AQ=OB=OQ-OA=7-3=4,
在Rt△AOB中,根据勾股定理得:AB==5,
∴正方形ABCD的边长为5;
在Rt△ADM中,DQ⊥AM,
∴△MDQ∽△DAQ,
∴DQ2=MQ•AQ,即9=4MQ,
∴MQ=,
∴OM=MQ+OQ=+7=,
则M(0,);
(2)∵AB∥A1B1,
∴∠ABO=∠A1B1B,又∠AOB=∠BA1B1=90°,
∴△AOB∽△BA1B1,又AB=BC=5,
∴=,即=,
又A1C=A1B1,
∴A1B1==;
同理得到A2B2==,A3B3==,
则以此类推,正方形AnBnCnCn-1的边长为.
故答案为:(1)5;(0,);(2).