Question

小明参加汽车驾驶培训，在实际操作考试时，被要求进行启动加速、匀速运行、制动减速三个连贯过程，在加速和减速运动过程中，路程和速度均满足关系s=，v为加速或减速的起始速度，加速时a为正，减速时a为负，匀速时a=0，加速或减速t秒后的瞬时速度v=v+at，小明在操作中瞬时速度v与时间t的关系如图所示，其中OA为匀加速，AB为匀速，BC为匀减速．
（1）若减速过程与加速过程完全相反，即BC与OA关于AB的中垂线成轴对称，求BC的解析式．
（2）当0≤t≤300时，求汽车行驶的路程s与时间t的函数关系式．
（3）汽车行驶t秒后，
①若经途中D点，过点D作垂线交AB于点E，试证明汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积．
②若汽车行驶至M点，过点M做垂线交BC于点N，汽车行驶的路程是否等于五边形OABNM的面积呢？试说明理由．

Answer

（1）根据轴对称的性质求出点C的坐标，再设BC的解析式为y=kt+b，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答即可；
（2）先根据200秒时的瞬时速度求出a，再分0≤t≤200时，为匀加速运动，200＜t≤300时为匀速运动两段分别进行求解即可；
（3）①根据（2）求出行驶的路程，再求出AE、OD的长，然后利用梯形的面积公式列式计算，即可得证；
②先求出运动至点M时的路程，再根据瞬时速度公式求出运动至点M时的速度，然后根据五边形OABNM的面积等于两个梯形的面积之和求出五边形的面积，即可得解．
（1）【解析】
∵BC与OA关于AB的中垂线成轴对称，
∴点C的坐标为（500，0），
设BC的解析式为y=kt+b，
把点B（300，120），（500，0）代入得，
，
解得，
所以，BC的解析式为y=-t+300（300≤t≤500）；

（2）【解析】
∵200秒时的速度为120，
∴0+200a=120，
解得a=0.6，
∴①0≤t≤200时，S=0•t+at2=×0.6×t2=0.3t2；
②200＜t≤300时，S=0.3×2002+120（t-200）=120t-12000；

（3）证明：①汽车经途中D点时，S=120t-12000，
此时，AE=t-200，OD=t，
∴四边形OAED的面积=（t-200+t）×120=120t-12000，
∴汽车行驶的路程恰等于四边形OAED的面积；
②∵从300秒时开始减速，
∴运动至点M时，瞬时速度y=120+a（t-300），
运动至M点，S=120×300-12000+120（t-300）+a（t-300）2，
=a（t-300）2+120（t-300）+24000，
∵AB=300-200=100，
五边形OABNM的面积=（100+300）×120+[120+a（t-300）+120]×（t-300），
=24000+a（t-300）2+120（t-300），
所以，汽车行驶的路程等于五边形OABNM的面积．