Question

某厂生产一种旅行包，每个包的成本为40元，售价为60元．该厂为了鼓励销售上订购，决定：当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的单价就降低0.02元，根据市场调查，销售商一次订购不会超过500个．
（1）设销售商一次订购量为x个，旅行包的实际出厂单价为y元，写出当一次订购量超过100个时，y与x的关系式；
（2）求当销售商一次订购x个旅行包时，可使该厂获得利润为w元，求出当一次订购量超过100个时，w与x之间的函数关系式；
（3）如果该厂想获得最大的利润，请你帮它算一算它应让销售商一次订购多少个旅行包？最大利润又是多少？

Answer

（1）可根据关键语“当一次订购量超过100个时，每多订一个，订购的全部旅行包的出厂单价就降低0.02元．”来列函数式．
（2）根据利润=（实际出厂单价-成本）×销售量，可得出利润关于x的二次函数关系式，从而利用二次函数的最值可得出答案．
（3）需要讨论一次订购数x的范围，①x≤100，求出此时的最大利润，②100＜x≤500，根据（2）的二次函数关系式，利用函数的最值求出最大利润，从而比较两结果即可．
【解析】
（1）由题意得，多订了（x-100）个，降价0.02（x-100）元，
则可得y=60-（x-100）×0.02=62-0.02x（0＜x＜500）；

（2）∵利润=（实际出厂单价-成本）×销售量，
∴可得利润w=[y-40]×x=（22-0.02x）×x=-0.02x2+22x；

（3）①当x≤100时，w=（60-40）x=20x，最大利润为2000；
②当100＜x≤500时，w=-0.02x2+22x=-0.02（x-550）2+6050，
∵w随x的增大而增大，
∴当x=500时，w取最大，w最大=-0.02×502+6050=6000元．
综上可得当订购量为500时，厂商获得最大利润，且最大利润为6000元．