Question

如图，在斜边长为1的等腰直角三角形OAB中，作内接正方形A₁B₁D₁C₁；在等腰直角三角形OA₁B₁中作内接正方形A₂B₂D₂C₂；在等腰直角三角形OA₂B₂中作内接正方形A₃B₃D₃C₃；…；依次做下去，则第n个正方形A_nB_nD_nC_n的边长是    ．

Answer

过O作OM垂直于AB，交AB于点M，交A1B1于点N，由三角形OAB与三角形OA1B1都为等腰直角三角形，得到M为AB的中点，N为A1B1的中点，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得出OM为AB的一半，由AB=1求出OM的长，再由ON为A1B1的一半，即为MN的一半，可得出ON与OM的比值，求出MN的长，即为第1个正方形的边长，同理求出第2个正方形的边长，依此类推即可得到第n个正方形的边长．
【解析】
过O作OM⊥AB，交AB于点M，交A1B1于点N，如图所示：
∵A1B1∥AB，
∴ON⊥A1B1，
∵△OAB为斜边为1的等腰直角三角形，
∴OM=AB=，
又∵△OA1B1为等腰直角三角形，
∴ON=A1B1=MN，
∴ON：OM=1：3，
∴第1个正方形的边长A1C1=MN=OM=×=，
同理第2个正方形的边长A2C2=ON=×=，
则第n个正方形AnBnDnCn的边长为：．
故答案为：．