Question

如图，矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4）．动点P从点O出发沿线段OC（不包括端点O，C）以每秒2个单位长度的速度匀速向点C运动，同时动点Q从点C出发沿线段CD（不包括端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t（秒），当t=2（秒）时，PQ=2√5．解答下列问题：
（1）求点D的坐标；
（2）直接写出t的取值范围．
（3）连接AQ并延长交x轴于点E，把AQ沿AD翻折，点Q落在CD延长线上点F处，连接EF．
①t为何值时，PQ∥AF；
②△AEF的面积S是否随t的变化而变化？若变化，求出S与t的函数关系式；若不变化，求出S的值．

Answer

（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，设OC=x，PC=x-4，在Rt△PCQ中，由勾股定理得出方程x-4）2+22=（2）2，求出即可；
（2）根据D（8，4）即可得出t的取值范围；
（3）①证△CPQ∽△DAF，得出=，代入求出即可；②结论：△AEF的面积S不变化，证△AQD∽△EQC，代入求出CE=，由翻折变换的性质得出DF=DQ=4-t，求出CF=8-t，根据S=Ss四边形AOCF+S△CFH-S△AOE和面积公式代入求出即可．
【解析】
（1）由题意可知：当t=2秒时，OP=4，CQ=2，
设OC=x，
则PC=x-4，
∵在Rt△PCQ中，由勾股定理得：PC2+CQ2=PQ2，
∴（x-4）2+22=（2）2，
x1=8，x2=0（不符合题意舍去），
∵矩形AOCD的顶点A的坐标是（0，4），
∴D（8，4）；

（2）∵D（8，4），
∴t的取值范围是：0＜t＜4；

（3）①∵PQ∥AF，
∴∠PQC=∠AFD，
∵∠ADF=∠PCQ=90°，
∴△CPQ∽△DAF，
∴=，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，
∴=，
t1=6+2，t2=6-2，
由（2）知o＜t＜4，
∴t1=6+2＞4舍去，
∴当t=6-2时，PQ∥AF；
②结论：△AEF的面积S不变化，
理由是：∵四边形AOCD是矩形，
∴AD∥OE，
∴△AQD∽△EQC，
∴=，
∴=，
CE=，
由翻折变换的性质可知：DF=DQ=4-t，
则CF=CD+DF=8-t，
S=Ss四边形AOCF+S△CFH-S△AOE
=（OA+CF）×OC+CF×CE-OA×OE
=[4+（8-t）]×8+（8-t）•-×4×（8+）
=32（定值），
∴△AEF的面积S不变化，S=32．