Question

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB的平分线与外角∠CBE的平分线相交于点D．
（1）如图1，若CA=CB，则∠D=______度；
（2）如图2，若CA≠CB，求∠D的度数；
（3）如图3，在（2）的条件下，AD与BC相交于点F，过B作BG⊥DF，过D作DH⊥BF，垂足分别为G，H，BG，DH相交于点M．若FG=2，DG=4，求BH的长．

Answer

（1）根据∠DBE是△ABD的外角，以及三角形外角和定理即可求解；
（2）根据AD平分∠CAB，BD平分∠CBE即可得到：∠BAD=∠CAB，∠DBE=∠CBE=∠DAB+45°，然后在△ABD中，利用三角形外角和定理即可求得；
（3）证明△DHF∽△BGF，然后根据相似三角形的对应边的比相等即可求解．
【解析】
（1）∵Rt△ABC中，∠C=90°，CA=CB，
∴∠CAB=∠ABC=45°，
∴∠CBE=180°-45°=135°，∠DAB=∠CAB=22.5°，
∴∠DBE=∠CBE=67.5°
∴∠D=∠DBE-∠DAB=45°；

（2）∵∠CBE是Rt△ABC的外角
∴∠CBE=90°+∠CAB
又∵AD平分∠CAB，BD平分∠CBE
∴∠BAD=，∠DBE=
又∵∠DBE=∠DAB+∠D
∴∠D=45°

（3）∵∠ADB=45°，BG⊥DF
∴BG=DG=4
在Rt△BGF中，BF==2，
∵BG⊥DF，DH⊥BF
∴∠DFB+∠FDH=∠DFB+∠FBG=90°
∴∠FDH=∠FBG
又∵∠BGF=∠DHF=90°
∴△DHF∽△BGF
∴
∴，