Question

如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，AD=，CD=1，BC=2，动点P从B点出发，沿着BC方向以每秒1个单位的速度向右移动，过点P作射线BA的垂线PQ，垂足为Q．设P点移动的时间为t秒（0＜t＜2），△PBQ与直角梯形ABCD重叠部分的面积为S．
（1）求∠B的度数；
（2）求S关于t的函数关系式；
（3）在P点的运动过程中，设PQ与线段AD相交于点H，是否存在一个圆，使得该圆内切于梯形ABPH？若存在，求出相应的t的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）首先过点A作AH⊥BC于H，根据已知得出BH，AH的长，即可得出tanB=的值，即可得出角B的度数；
（2）分别根据①如图1，当0＜t≤时，②当＜t＜2时，分别求出S与t的关系时即可；
（3）利用切线的性质以及三角形内切圆的性质表示出圆的半径，进而得出即可．
【解析】
（1）过点A作AH⊥BC于H，
∵AD=，BC=2，CD=1，
∴BH=，AH=CD=1，
∵在Rt△AHB中
tanB===，
∴∠B=30°；

（2）①如图1，当0＜t≤时，
∵BP=t，PQ=，BQ=t，
∴S=×t×=t2；
②当＜t＜2时，
如图2，设PQ与线段AD交于点H，
∵BP=t，∴BQ=t，PQ=
又∵AB==2，
∴AQ=t-2，
∵AD∥BC，
∴∠QAH=∠B=30°，
∴Rt△QAH中，由勾股定理得出：
QH=（t-2），
∴S=S△BQP-S△AQH
=t2-×（t-2）××（t-2）
=t2-（t-2）2
=t-，
综上所述：S=；

（3）存在；理由如下：
如图3，设⊙O内切于梯形ABPH，
M，N，L分别是AB，PH，BP边的切点，则⊙O的半径r=CD=，
且BM=BL，PL=PN，
又∵⊙O也是Rt△BPQ的内切圆，
∴QM=QN，
∴四边形QMON是正方形，
∴r==，
即t+-t=1，
解得：t=+1，
∴当t=+1时，存在一个圆使该圆内切于梯形ABPH．