Question

如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，过点O作EF∥BC交AB于E，交AC于F，过点O作OD⊥AC于D．下列四个结论：
①EF是△ABC的中位线．
②以E为圆心、BE为半径的圆与以F为圆心、CF为半径的圆外切；
③设OD=m，AE+AF=2n，则S_△AEF=mn；
④∠BOC=90°+∠A；
其中正确的结论是    ．

Answer

由题意可对每个结论进行推理论证．①可假设是中位线推出矛盾结论．②可通过角平分线的性质得出O到三角形各边的距离相等，连接AO分别表示出△AOE和△AOF的面积相加即可．③由EF∥BC、∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O可得EB=EO，FC=FO，EO和FO分时两个圆的半径，EF=EO+FO，推出外切．④由∠BOC=180°-（∠OBC+∠OCB），又∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，∠OBC+∠OCB=（∠ABC+∠ACB）=（180°-∠A），通过等量代换得出结论．
【解析】
①∵EF∥BC，
∴∠BOE=∠CBO，∠COF=∠BCO，
又，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
∴∠EBO=∠CBO，∠FCO=∠BCO，
∴∠EBO=∠BOE，∠FCO=∠COF，
∴EB=EO，FC=FO，
假设EF是△ABC的中位线，则EA=EB，FA=FC，
∴EO=EA，FO=FA，
∴EA+FA=EO+FO=EF，
推出在△AEF中两边之和等于第三边，不成立，所以①结论不正确．
②由①得EB=EO，FC=FO，
即EO，FO分别为两圆的半径，又EF=EO+FO，所以两圆外切，
所以②正确．
③连接AO，过O作OG⊥AB于G，
由，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，
得：OG=OD=m，
所以三角形AEF的面积=三角形AOE的面积+三角形AOF的面积
=•AE•OG+•AF•OD=（AE•m+AF•m）=m（AE+AF）
=m•2n=mn．
所以③正确．
④由，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O得：
∠CBO=∠ABC，∠BCO=∠ACB，
∠BOC=180°-（∠CBO+∠BCO）
=180°-（∠ABC+∠ACB）
=180°-（180°-∠A）
=90°+∠A．
所以④正确．
故答案为：②③④．