Question

如图，在梯形纸片ABCD中，BC∥AD，∠A+∠D=90°，tanA=2，过点B作BH⊥AD于H，BC=BH=2．动点F从点D出发，以每秒1个单位的速度沿DH运动到点H停止，在运动过程中，过点F作FE⊥AD交折线D-C-B于点E，将纸片沿直线EF折叠，点C、D的对应点分别是点C₁、D₁．设F点运动的时间是x秒（x＞0）．
（1）当点E和点C重合时，求运动时间x的值；
（2）在整个运动过程中，设△EFD₁或四边形EFD₁C₁与梯形ABCD重叠部分面积为S，请直接写出S与x之间的函数关系式和相应自变量x的取值范围；
（3）平移线段CD，交线段BH于点G，交线段AD于点P．在直线BC上存在点I，使△PGI为等腰直角三角形．请求出线段IB的所有可能的长度．

Answer

（1）过C作GC∥AB交AD于G，通过勾股定理就可以求出AH=1，AB=，再得出四边形ABCG是平行四边求出DH，过C作CM⊥AD交AD于M，求出DM的值即可；
（2）分四种情况讨论，如图4，当0＜x≤3.5时，如图5，3.5＜x≤4时，作GM⊥AD于M，如图6，当4＜x≤5时，作GM⊥AD于M，如图7，当5＜x≤6时，可以分别求出S与x之间的环数关系式；
（3）分三种情况：当点P为直角顶点时，当点I为直角顶点时，当点G为直角顶点时，利用全等三角形的性质就可以求出结论．
【解析】
（1）过C作GC∥AB交AD于G，
∴∠CGD=∠A，
∵∠A+∠D=90°，
∴∠CGD+∠D=90°，
∴∠DCG=90°．
在Rt△AHB中，tanA=2，BH=2，
∴AH=1，AB=，
∵BC∥AD，CG∥AB，
∴四边形ABCG是平行四边形，
∴AG=BC=2，CG=AB=，
∴CD=2，GD=5，
∴DH=6．
过C作CM⊥AD交AD于M，
∴DM=4，当点E和点C重合时x=4．
（3）如图4，当0＜x≤3.5时，
S= D1F•EF= x• x= x2；
如图5，3.5＜x≤4时，作GM⊥AD于M，
S= D1F•EF- D1A•GM．
D1A=2x-7
设GM=a，则AM= a，
∵a，
∴，
∴a=，
即GM=．
∴S= x2- （2x-7）×；
=- x2+ x-；
如图6，当4＜x≤5时，作GM⊥AD于M，
S= （C1E+D1F）×2- D1A•GM
= （x-4+x）×2- （2x-7）×=- x2+ x-；
如图7，当5＜x≤6时，
S= （BE+AF）•EF
= （6-x+7-x）×2
=13-2x．
（3）①如图1
当点P为直角顶点时，作IO⊥AD于O，
∴∠POI=90°．∠GPI=90°．
∴∠GPH+∠IPO=90°，∠IPO+∠PIO=90°，
∴∠GPH=∠PIO．
∵△PGI是等腰直角三角形，
∴GP=IP．
∵BH⊥AD，
∴∠BHP=90°，
∴∠BHP=∠POI．
在△GHP和△POI中，
，
∴△GHP≌△POI，
∴HP=OI，GH=PO．
∵GP∥CD，
∴∠GPH=∠D．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠A+∠GPH=90°，
∵∠A+∠ABH=90°，
∴∠ABH=∠GPH．
∵tanA=2，
∴tan∠ABH=tan∠GPH=，
∴GH=HP=IO=1，
∴IB=2+1=3；
②如图2，当点I为直角顶点时，作IO⊥AD于O，
同理可以得出：△BGI≌△OPI，
∴IP=IO．
∵IO=BH=2，
∴IB=2；
③如图3，当点G为直角顶点时，

同理可以得出：△BGI≌△HPG，
∴BI=GH，GB=HP．
∵GH=HP，
∴GH=BG，
∴GH=BH=，
∴BI=．
综上所述，IB的长度是3，2，．