Question

如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．点P从B出发沿BA向A运动，速度为每秒1cm，点E是点B以P为对称中心的对称点，点P运动的同时，点Q从A出发沿AC向C运动，速度为每秒2cm，当点Q到达顶点C时，P，Q同时停止运动，设P，Q两点运动时间为t秒．
（1）当t为何值时，PQ∥BC？
（2）设四边形PQCB的面积为y，求y关于t的函数关系式；
（3）四边形PQCB面积能否是△ABC面积的？若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由；
（4）当t为何值时，△AEQ为等腰三角形？（直接写出结果）

Answer

（1）先在Rt△ABC中，由勾股定理求出AB=10，再由BP=t，AQ=2t，得出AP=10-t，然后由PQ∥BC，根据平行线分线段成比例定理得出=，列出比例式=，求解即可；
（2）根据S四边形PQCB=S△ACB-S△APQ=AC•BC-AP•AQ•sinA，即可得出y关于t的函数关系式；
（3）根据四边形PQCB面积是△ABC面积的，列出方程t2-8t+24=×24，解方程即可；
（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：①AE=AQ；②EA=EQ；③QA=QE，每一种情况都可以列出关于t的方程，解方程即可．
【解析】
（1）Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，
∴AB=10cm．
∵BP=t，AQ=2t，
∴AP=AB-BP=10-t．
∵PQ∥BC，
∴=，
∴=，
解得t=；

（2）∵S四边形PQCB=S△ACB-S△APQ=AC•BC-AP•AQ•sinA
∴y=×6×8-×（10-2t）•2t•
=24-t（10-2t）
=t2-8t+24，
即y关于t的函数关系式为y=t2-8t+24；

（3）四边形PQCB面积能是△ABC面积的，理由如下：
由题意，得t2-8t+24=×24，
整理，得t2-10t+12=0，
解得t1=5-，t2=5+（不合题意舍去）．
故四边形PQCB面积能是△ABC面积的，此时t的值为5-；

（4）△AEQ为等腰三角形时，分三种情况讨论：
①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=；
②如果EA=EQ，那么（10-2t）×=t，解得t=；
③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得t=．
故当t为秒秒秒时，△AEQ为等腰三角形．