Question

如图1，在平面直角坐标系中，拋物线y=ax²+c与x轴正半轴交于点F（4，0）、与y轴正半轴交于点E（0，4），边长为4的正方形ABCD的顶点D与原点O重合，顶点A与点E重合，顶点C与点F重合；

（1）求拋物线的函数表达式；
（2）如图2，若正方形ABCD在平面内运动，并且边BC所在的直线始终与x轴垂直，抛物线与边AB交于点P且同时与边CD交于点Q．设点A的坐标为（m，n）
①当PO=PF时，分别求出点P和点Q的坐标及PF所在直线l的函数解析式；
②当n=2时，若P为AB边中点，请求出m的值；
（3）若点B在第（2）①中的PF所在直线l上运动，且正方形ABCD与抛物线有两个交点，请直接写出m的取值范围．

Answer

（1）已知抛物线的对称轴是y轴，顶点是（0，4），经过点（4，0），利用待定系数法即可求得函数的解析式；
（2）①过点P作PG⊥x轴于点G，根据三线合一定理可以求得G的坐标，则P点的横坐标可以求得，把P的横坐标代入抛物线的解析式，即可求得纵坐标，得到P的坐标，再根据正方形的边长是4，即可求得Q的纵坐标，代入抛物线的解析式即可求得Q的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线PF的解析式；
②已知n=2，即A的纵坐标是2，则P的纵坐标一定是2，把y=2代入抛物线的解析式即可求得P的横坐标，根据AP=2，且AP∥y轴，即可得到A的横坐标，从而求得m的值；
（3）假设B在M点时，C在抛物线上或假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，求得两个临界点，当B在MP和FN之间移动时，抛物线与正方形有两个交点．
【解析】
（1）由抛物线y=ax2+c经过点E（0，4），F（4，0）
，解得
∴y=-x2+4
（2）①过点P作PG⊥x轴于点G，
∵PO=PF∴OG=FG
∵F（4，0）∴OF=4
∴OG=OF=×4=2，即点P的横坐标为2
∵点P在抛物线上
∴y=-×22+4=3，即P点的纵坐标为3
∴P（2，3）
∵点P的纵坐标为3，正方形ABCD边长是4，∴点Q的纵坐标为-1
∵点Q在抛物线上，∴-1=-x2+4
∴x1=2，x2=-2（不符题意，舍去）
∴Q（2，-1）
设直线PF的解析式是y=kx+b，
根据题意得：，
解得：，
则直线的解析式是：y=-x+6；
②当n=2时，则点P的纵坐标为2
∵P在抛物线上，∴2=-x2+4
∴x1=2，x2=-2
∴P的坐标为（2，2）或（-2，2）
∵P为AB中点∴AP=2
∴A的坐标为（2-2，2）或（-2-2，2）
∴m的值为2-2或-2-2
③假设B在M点时，C在抛物线上，A的横坐标是m，则B的横坐标是m+4，代入直线PF的解析式得：y=-（m+4）+6=-m，
则B的纵坐标是-m，则C的坐标是（m+4，-m-4）．
把C的坐标代入抛物线的解析式得：-m-4=-（m+4）2+4，解得：m=-1-或-1+（舍去）；

当B在E点时，AB经过抛物线的顶点，则E的纵坐标是4，把y=4代入y=-x+6，得4=-x+6，解得：x=，
此时A的坐标是（-，4），E的坐标是：（，4），此时正方形与抛物线有3个交点．
当点B在E点时，正方形与抛物线有两个交点，此时-1-＜m＜-；
当点B在E和P点之间时，正方形与抛物线有三个交点，此时：-＜x＜-2；
当B在P点时，有两个交点；
假设当B点在N点时，D点同时在抛物线上时，同理，C的坐标是（m+4，-m-4），则D点的坐标是：（m，-m-4），
把D的坐标代入抛物线的解析式得：-m-4=-m2+4，解得：m=3+或3-（舍去），
当B在F与N之间时，抛物线与正方形有两个交点．此时0＜m＜3+．
故m的范围是：-1-＜m-或m=2或0＜m＜3+．