Question

已知：在△ABC中，AC=a，AB与BC所在直线成45°角，AC与BC所在直线形成的夹角的余弦值为（即cosC=），则AC边上的中线长是    ．

Answer

分两种情况：①△ABC的内角∠ABD=45°；②△ABC的外角∠ABD=45°．这两种情况，都可以首先作△ABC的高AD，解直角△ACD与直角△ABD，得到BC的长，再利用余弦定理求解．
【解析】
分两种情况：
①如图1．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=BD+CD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=a2+a2-2×a×a×
=a2，
∴BE=a；
②如图2．
作△ABC的高AD，BE为AC边的中线．
∵在直角△ACD中，AC=a，cosC=，
∴CD=a，AD=a．
∵在直角△ABD中，∠ABD=45°，
∴BD=AD=a，
∴BC=CD-BD=a．
在△BCE中，由余弦定理，得
BE2=BC2+EC2-2BC•EC•cosC
=a2+a2-2×a×a×
=a2，
∴BE=a．
综上可知AC边上的中线长是a或a．
故答案为a或a．