Question

如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点N，连接BM，DN．
（1）求证：四边形BMDN是菱形；
（2）若AB=4，AD=8，求MD的长．

Answer

（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；
（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=x2-16x+64+16，求出即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，∠A=90°，
∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，
∵在△DMO和△BNO中
，
∴△DMO≌△BNO（AAS），
∴OM=ON，
∵OB=OD，
∴四边形BMDN是平行四边形，
∵MN⊥BD，
∴平行四边形BMDN是菱形．

（2）【解析】
∵四边形BMDN是菱形，
∴MB=MD，
设MD长为x，则MB=DM=x，
在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2
即x2=（8-x）2+42，
解得：x=5，
答：MD长为5．