Question

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=5cm，点D在BC上，且CD=3cm．现有两个动点P，Q分别从点A和点B同时出发，其中点P以1厘米/秒的速度沿AC向终点C运动；点Q以1.25厘米/秒的速度沿BC向终点C运动．过点P作PE∥BC交AD于点E，连接EQ．设动点运动时间为t秒（t＞0）．
（1）连接PQ，在运动过程中，不论t取何值时，总有线段PQ与线段AB平行，为什么？
（2）连接DP，当t为何值时，四边形EQDP能成为平行四边形？
（3）当t为何值时，△EDQ为直角三角形？

Answer

（1）先用t表示出PC及CQ的长，再求出=，即可得出结论；
（2）先由PE∥CD，得△APE∽△ACD，根据相似三角形的对应边的比相等，求出PE的长，再根据四边形EQDP是平行四边形，得PE=DQ，可用含t的代数式表示出DQ的长，联立PE的表达式列方程求出t的值即可；
（3）由于∠EDQ≠90°，所以当△EDQ为直角三角形时，可分两种情况进行讨论：①∠EQP=90°；②∠QED=90°．两种情况都可以通过证明三角形相似，列出比例关系式，从而求出t的值．
【解析】
（1）如图1，
∵点P以1厘米/秒的速度从点A沿AC向终点C运动，点Q以1.25厘米/秒的速度从点B沿BC向终点C运动，
∴AP=t，BQ=1.25t，
∴PC=AC-AP=4-t，QC=BC-BQ=5-1.25t，
∴==1-，==1-，
∴=，
∴PQ∥AB；

（2）如图2，∵PE∥CD，
∴△AEP∽△ADC，
∴=，
∴=，
∴EP=．
∵四边形EQDP是平行四边形，
∴EP=QD，即=2-1.25t，
解得t=1．
故当t为1秒时，四边形EQDP能成为平行四边形；

（3）分两种情况讨论：
①如图3，当∠EQD=90°时，显然有EQ=PC=4-t，
又∵EQ∥AC，
∴△EDQ∽△ADC，
∴=，即=，
解得t=2.5（秒）；
②如图4，当∠QED=90°时，作EM⊥BC于M，CN⊥AD于N，则四边形EMCP是矩形，EM=PC=4-t．
在Rt△ACD中，∵AC=4厘米，CD=3厘米，
∴AD==5，
∴CN==．
∵∠EDQ=∠CDA，∠QED=∠ACD=90°，
∴△EDQ∽△CDA，
∴=，
=，
解得t=3.1（秒）．
综上所述，当t=2.5秒或t=3.1秒时，△EDQ为直角三角形．