Question

已知：如图，三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x轴的正半轴上并与直线y=x相切，设半圆C₁、半圆C₂、半圆C₃的半径分别是r₁、r₂、r₃，则当r₁=1时，r₃=    ．

Answer

分别过O1、O2、O3作直线y=x的垂线，垂足为A、B、C，再分别过O1、O2作O1D⊥O2B，O2E⊥O3C，垂足为D、E，由直线解析式可知∠COO3=∠DO1O2=∠EO2O3=30°，分别解Rt△DO1O2，Rt△EO2O3，求r3．
【解析】
如图，过O1、O2、O3作直线的垂线，垂足为A、B、C，
过O1、O2作O1D⊥O2B，O2E⊥O3C，垂足为D、E，
∵直线解析式为y=x，
∴∠COO3=∠DO1O2=∠EO2O3=30°，
在Rt△DO1O2中，O1O2=r1+r2，O2D=r2-r1，由sin∠DO1O2=，得=，解得r2=3；
在Rt△EO2O3中，O2O3=r2+r3，O3E=r3-r2，由sin∠EO2O3=，得=，解得r3=9．
故答案为：9．