Question

如图，一次函数y=-2x+t（t＞0）的图象与x轴，y轴分别交于点C，D．
（1）求点C，点D的坐标；
（2）已知点P是二次函数y=-x²+3x图象在y轴右侧部分上的一个动点，若以点C，点D为直角顶点的△PCD与△OCD相似．求t的值及对应的点P的坐标．

Answer

（1）令一次函数解析式中y=0，求出对应x的值，确定出C的坐标，令x=0，求出对应y的值，确定出D的坐标即可；
（2）由（1）得出的C与D的坐标，求出OC及OD的长，在直角三角形OCD中，利用勾股定理表示出CD，以CD为直角边的△PCD与△OCD相似，过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，如图中红线所示，以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似，此时∠CDP=90°，分两种情况考虑：当PD：DC=OC：OD=1：2时，由表示出的DC得到PD的长，根据P在二次函数图象上，设P的坐标为（x，-x2+3x），表示出PM与MD，在直角三角形PMD中，利用勾股定理列出关系式，记作①，表示出CN，在直角三角形PCD与直角三角形PCN中，分别利用勾股定理表示出PC2，将各自的值代入得到关系式，记作②，联立①②可得出t与x的值，进而确定出此时P的坐标；若DC：PD=OC：OD=1：2时，如图所示，同理可以求得t与x的值，确定出此时P的坐标，综上，得到所有满足题意t的值及对应P的坐标．
【解析】
（1）对于一次函数y=-2x+t，
令y=0，求出x=，令x=0，求出y=t，
∴C坐标为（，0），D坐标为（0，t）；
（2）由（1）得：OD=t，OC=，
在Rt△OCD中，根据勾股定理得：CD==，
以D为直角顶点的△PCD与△OCD相似，此时∠CDP=90°，
过P作PM⊥y轴，PN⊥x轴，如图中红线所示：

若PD：DC=OC：OD=1：2，则PD=，
设P（x，-x2+3x），
∴PM=ON=x，PN=OM=-x2+3x，MD=-x2+3x-t，
在Rt△PMD中，根据勾股定理得：PD2=PM2+MD2，
∴（）2=x2+（-x2+3x-t）2，①
又CN=ON-OC=x-，
∴在Rt△PDC与Rt△PCN中，利用勾股定理得：PC2=PD2+CD2=PN2+CN2，
∴（）2+（）2=（-x2+3x）2+（x-）2，②
联立①②解得：x=，t=1，
∴此时P坐标为（，）；
若DC：PD=OC：OD=1：2时，如图所示，同理可以求得t=1，P（2，2），
若以C为直角顶点时，△PCD与△OCD相似，此时∠DCP=90°时，同理可得t=，P（，），
综上，当t=1时，对应的P坐标为（，）或（2，2）或P（，）