Question

已知：一次函数y=的图象与x轴、y轴的交点分别为B、C，二次函数的关系式为y=ax²-3ax-4a（a＜0）．
（1）说明：二次函数的图象过B点，并求出二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标；
（2）若二次函数图象的顶点，在一次函数图象的下方，求a的取值范围；
（3）若二次函数的图象过点C，则在此二次函数的图象上是否存在点D，使得△ABD是直角三角形？若存在，求出所有满足条件的点D坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据直线解析式求出点B、C的坐标，再根据二次函数解析式令y=0求关于x的一元二次方程即可求出点A、B的坐标，即可得解；
（2）把二次函数解析式整理成顶点式形式，再求出对称轴与直线y=-x+2的交点，然后根据顶点在交点下方列出不等式，求解即可；
（3）把点C的坐标代入抛物线求出a的值，从而得到函数解析式，再根据点A、B、C的坐标求出OA、OB、OC的长，然后根据两边对应成比例，两三角形相似求出△AOC∽△COB，根据相似三角形的性质求出△ABC是直角三角形，所以，点D与C重合时满足，再根据抛物线对称性，令y=2，解关于x的一元二次方程即可求出点D的另一种情况．
【解析】
（1）令y=0，则-x+2=0，解得x=4，
令x=0，则y=2，
所以，点B（4，0），C（0，2），
令y=0，则ax2-3ax-4a=0，
整理得x2-3x-4=0，
解得x1=-1，x2=4，
所以，二次函数的图象过B点，
二次函数的图象与x轴的另一个交点A的坐标为A（-1，0）；

（2）y=ax2-3ax-4a=a（x2-3x-4）=a（x-）2-a，
所以，抛物线的顶点坐标为（，-a），
当x=时，y=-×+2=，
∵二次函数图象的顶点在一次函数图象的下方，
∴-a＜，
解得a＞-，
∴a的取值范围是-＜a＜0；

（3）存在．
理由如下：∵二次函数的图象过点C，
∴a×02-3a×0-4a=2，
解得a=-，
∴抛物线解析式为y=-x2+x+2，
∵点A（-1，0），B（4，0），C（0，2），
∴OA=1，OB=4，OC=2，
∵==，
∴△AOC∽△COB，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠BCO=90°，
∴∠ACO+∠BCO=90°，
∴△ABC是直角三角形，此时点D与点C重合，
根据二次函数的对称性，当y=2时，-x2+x+2=2，
整理得，x2-3x=0，
解得x1=0，x2=3，
∴点D的坐标为（0，2）或（3，2）时，△ABD是直角三角形．