Question

Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20．CD为斜边AB上的高．矩形EFGH的边EF与CD重合，A、D、B、G在同一直线上（如图1）．将矩形EFGH向左边平移，EF交AC于M（M不与A重合，如图2），连接BM，BM交CD于N，连接NF．
（1）直接写出图2中所有与△CDB相似的三角形；
（2）设CE=x，△MNF的面积为y，求y与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求△MNF的最大面积；
（3）在平移过程中是否存在四边形MFNC为平行四边形的情形？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）有△CEM∽△CDB，△AFM∽△CDB，△ADC∽△CDB，△ACB∽△CDB；
（2）过N作NQ⊥EF于Q，求出EC=DF=NQ=x，由勾股定理求出AB=25，根据三角形面积公式求出CD=12，由勾股定理求出AD=16，BD=9，根据△AMF∽△ACD求出FM=-x+12，代入y=FM×NQ求出即可；
（3）根据△BDN∽△BFM求出DN=（-x+12），求出CN=12-（-x+12），根据平行四边形的性质得出方程-x+12=12-（-x+12），求出方程的解即可．
【解析】
（1）△CEM∽△CDB，△AFM∽△CDB，△ADC∽△CDB，△ACB∽△CDB；

（2）
过N作NQ⊥EF于Q，如图2，
∵据平移和矩形性质得出EF∥CD，EC∥FD，
∴四边形EFDC是矩形，
∴EC=DF=NQ=x，
∵△ACB中，∠ACB=90°，BC=15，AC=20，由勾股定理得：AB=25，
S△ACB=AB×CD=AC×BC，
∴CD=12，由勾股定理得：AD=16，BD=9，
∵EF∥DC，
∴△AMF∽△ACD，
∴=，
∴=，
FM=-x+12，
∴y=FM×NQ=（-x+12）x，
y=-x2+6x，
，
y=-（x-8）2+24，
即当x=8时，△MNF的最大面积是24；
自变量x的取值范围是0＜x＜16，当x=8时，有最大值24；

（3）∵EF∥CD，
∴△BDN∽△BFM，
∴=，
∴=，
∴DN=（-x+12），
∴CN=12-DN=12-（-x+12），
假设存在四边形MFNC为平行四边形，
此时CN=FM，
即-x+12=12-（-x+12），
解得：x=6，
即在平移过程中存在四边形MFNC为平行四边形的情形，此时x的值是6．