Question

如图1，正方形ABCD是边长为1的正方形，正方形EFGH的边HE、HG与正方形ABCD的边AB、BC交于点M、N，顶点H在对角线BD上移动，设点M、N到BD的距离分别是h_M、h_N，四边形MBNH的面积是S．
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时（图1），S=______，h_M+h_N=______

Answer

（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时，BH=BD，H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．先由正方形的性质得出BD平分∠ABC，∠ABC=90°，由角平分线的性质得到HI=HJ，垂线的定义得到∠HIB=∠HJB=90°，根据一组邻边相等的矩形是正方形证明四边形IBJH是正方形，再利用ASA证明△HMI≌△HNJ，则S四边形MBNH=S正方形HIBJ，根据正方形的面积公式求出S=BH2=；又S四边形MBNH=S△HMB+S△HNB=BH（hM+hN），将数据代入即可求出hM+hN=；
（2）当顶点H为OB的中点时，BH=BD，同（1）可求出S=BH2=；hM+hN=；
（3）当BH=n时，同（1）可求出S=BH2=n2；hM+hN=n．
【解析】
（1）当顶点H和正方形ABCD的中心O重合时，如图1，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，
∵HI⊥AB于I，HJ⊥BC于J，
∴HI=HJ，∠HIB=∠HJB=90°，
∴四边形IBJH是正方形．
在△HMI和△HNJ中，
，
∴△HMI≌△HNJ，
∴S△HMI=S△HNJ，
∴S四边形MBNH=S△HMB+S△HNB=S△HMI+S△HBI+S△BHJ-S△HNJ=S△HBI+S△BHJ=S正方形HIBJ=BH2=（BD）2=×（）2=；
又∵S四边形MBNH=S△HMB+S△HNB=BH•hM+BH•hN=BH（hM+hN），
∴=×（hM+hN），
∴hM+hN=；

（2）当顶点H为OB的中点时，如图2，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
同（1）可证，四边形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S△HMI=S△HNJ，
∴S四边形MBNH=S正方形HIBJ=BH2=（BD）2=×（）2=；
又∵S四边形MBNH=S△HMB+S△HNB=BH•hM+BH•hN=BH（hM+hN），
∴=×（hM+hN），
∴hM+hN=；

（3）当BH=n时，如图3，
过H点分别作AB、BC的垂线HI和HJ，垂足分别为I、J．
同（1）可证，四边形IBJH是正方形且△HMI≌△HNJ，
∴S△HMI=S△HNJ，
∴S四边形MBNH=S正方形HIBJ=BH2=n2；
又∵S四边形MBNH=S△HMB+S△HNB=BH•hM+BH•hN=BH（hM+hN），
∴n2=n（hM+hN），
∴hM+hN=n．
故答案为：（1），；（2），；（3）n2，n．