Question

如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，M是直线AB上的一个动点，MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，若点M的横坐标为a．
（1）当点M在线段AB上运动时，用a的代数式表示四边形OCMD的周长；
（2）在（1）的条件下，求四边形OCMD面积的最大值；
（3）以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切时，求a的值．

Answer

（1）由MC⊥x轴于C，MD⊥y轴于D，易得四边形OCMD是矩形，又由点M的横坐标为a，M是直线AB上的一个动点，即可求得MC的值，则可求得四边形OCMD的周长；
（2）由MD=a，MC=-a+6，即可得四边形OCMD面积为：-（a-4）2+12，则可求得四边形OCMD面积的最大值；
（3）由以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切，可得AM=MD+AC，则可得AC=8-a，AM=8，又由勾股定理，即可得方程：82=（8-a）2+（-a+6）2，解此方程即可求得答案．
【解析】
（1）∵MC⊥x轴，MD⊥y轴，
∴四边形OCMD是矩形，
∵点M的横坐标为a，M是直线AB上的一个动点，
∴y=-a+6，
∴MD=OC=a，MC=OD=-a+6，
∴四边形OCMD的周长为：MD+OC+MC+OD=2[a+（-a+6）]=a+12；

（2）∵S四边形OCMD=MD•MC=a×（-a+6）=-a2+6a=-（a2-8a）=-（a-4）2+12，
∴当a=4时，S四边形OCMD最大，最大值为12，
即四边形OCMD面积的最大值为12；

（3）∵以M为圆心MD为半径的⊙M与以A为圆心AC为半径的⊙A相切，
∴AM=MD+AC，
∵直线y=-x+6交x轴于点A，
∴点A的坐标为：（8，0），
∴OA=8，
∵MD=OC=a，
∴AC=8-a，
∴AM=a+8-a=8，
在Rt△ACM中，AM2=AC2+MC2，
即82=（8-a）2+（-a+6）2，
∴25a2-400a+576=0，
∴（5a-72）（5a-8）=0，
解得：a=＞8（舍去），a=，
∴a的值为：．