Question

定义：P、Q分别是两条线段a和b上任意一点，线段PQ长度的最小值叫做线段a与线段b的距离．
已知O（0，0），A（4，0），B（m，n），C（m+4，n）是平面直角坐标系中四点．
（1）根据上述定义，当m=2，n=2时，如图1，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）是______；当m=5，n=2时，如图2，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）为______

Answer

（1）理解新定义，按照新定义的要求求出两个距离值；
（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长；
（3）①在准确理解点M运动轨迹的基础上，画出草图，如答图3所示．由图形可以直观求出封闭图形的周长；
②如答图4所示，符合题意的相似三角形有三个，需要进行分类讨论，分别利用点的坐标关系以及相似三角形比例线段关系求出m的值．
【解析】
（1）当m=2，n=2时，
如题图1，线段BC与线段OA的距离（即线段AB长）=2；
当m=5，n=2时，
B点坐标为（5，2），线段BC与线段OA的距离，即为线段AB的长，
如答图1，过点B作BN⊥x轴于点N，则AN=1，BN=2，
在Rt△ABN中，由勾股定理得：AB===．

（2）如答图2所示，当点B落在⊙A上时，m的取值范围为2≤m≤6：
当4≤m≤6，显然线段BC与线段OA的距离等于⊙A半径，即d=2；
当2≤m＜4时，作BN⊥x轴于点N，线段BC与线段OA的距离等于BN长，
ON=m，AN=OA-ON=4-m，在Rt△ABN中，由勾股定理得：
∴d===．

（3）①依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：
由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成，
其周长为：2×8+2×π×2=16+4π，
∴点M随线段BC运动所围成的封闭图形的周长为：16+4π．
②结论：存在．
∵m≥0，n≥0，∴点M位于第一象限．
∵A（4，0），D（0，2），∴OA=2OD．
如答图4所示，相似三角形有三种情形：
（I）△AM1H1，此时点M纵坐标为2，点H在A点左侧．
如图，OH1=m+2，M1H1=2，AH1=OA-OH1=2-m，
由相似关系可知，M1H1=2AH1，即2=2（2-m），
∴m=1；
（II）△AM2H2，此时点M纵坐标为2，点H在A点右侧．
如图，OH2=m+2，M2H2=2，AH2=OH2-OA=m-2，
由相似关系可知，M2H2=2AH2，即2=2（m-2），
∴m=3；
（III）△AM3H3，此时点B落在⊙A上．
如图，OH3=m+2，AH3=OH3-OA=m-2，
过点B作BN⊥x轴于点N，则BN=M3H3=n，AN=m-4，
由相似关系可知，AH3=2M3H3，即m-2=2n  （1）
在Rt△ABN中，由勾股定理得：22=（m-4）2+n2  （2）
由（1）、（2）式解得：m1=，m2=2，
当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，
∴m=．
综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与△AOD相似，m的取值为：1、3或．