Question

如图，抛物线的顶点为A（2，1），且经过原点O，与x轴的另一个交点为B．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线上求点M，使△MOB的面积是△AOB面积的3倍．

Answer

（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将其解析式设为顶点坐标式，然后将原点坐标代入上式，即可求得待定系数的值，从而确定该抛物线的解析式．
（2）由于△MON和△AOB同底不等高，因此它们的面积比等于高的比，即M点的纵坐标的绝对值是A点纵坐标绝对值的3倍，由于A是抛物线顶点，因此点M必在x轴下方，将其纵坐标代入抛物线的解析式中，即可确定M点的坐标．
【解析】
（1）由题意，可设抛物线的解析式为y=a（x-2）2+1，（2分）
∵抛物线过原点，
∴a（0-2）2+1=0，a=-；（2分）
∴抛物线的解析式为y=-（x-2）2+1=-x2+x．（1分）

（2）△AOB和所求△MOB同底不等高，且S△MOB=3S△AOB，
∴△MOB的高是△AOB高的3倍，
即M点的纵坐标是-3，（3分）
∴-3=-x2+x，
即x2-4x-12=0，（1分）
解之，得x1=6，x2=-2，（2分）
∴满足条件的点有两个：M1（6，-3），M2（-2，-3）．（1分）