Question

已知：▱ABCD中，对角线AC⊥AB，AB=15，AC=20，点P为射线BC上一动点，AP⊥PM（点M与点B分别在直线AP的两侧），且∠PAM=∠CAD，连结MD．

（1）当点M在▱ABCD内时，如图1，设BP=x，AP=y，求y关于x的函数关系式，并写出函数的定义域；
（2）请在图2中画出符合题意的示意图，并探究：图中是否存在与△AMD相似的三角形？若存在，请写出并证明；若不存在，请说明理由；
（3）当△AMD为等腰三角形时，求BP的长．

Answer

（1）作AE⊥BC于E，先在Rt△ABC中运用勾股定理求出BC=25，再解Rt△ABE，得到AE=12，BE=9，然后在Rt△AEP中，利用勾股定理得AP2=PE2+AE2，即可求出y关于x的函数关系式；
（2）先由两角对应相等的两三角形相似证明出△APM∽△ACD，则AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，又由∠PAM=∠CAD，得出∠PAC=∠MAD，根据两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可得到△PAC∽△MAD；
（3）先由相似三角形的形状相同，由（2）得出△APC为等腰三角形，再分两种情况进行讨论：①点M在平行四边形内；②点M在平行四边形外；又分两种情况：（i）P在BC上，（ii）P在BC的延长线上．
【解析】
（1）如图1，作AE⊥BC于点E．
∵AC⊥AB，AB=15，AC=20，
∴BC==25，
∴AE=AB•sinB=15×=15×=12，BE=AB•cosB=15×=15×=9，
∴PE=BP-BE=x-9，
∵点M在平行四边形内，
∴垂直时BP最小等于BE，BP最大接近BC，
在Rt△AEP中，由勾股定理得AP2=PE2+AE2，
∴y=（9≤x＜25）；

（2）存在与△AMD相似的△APC，理由如下：
∵∠PAM=∠CAD，∠APM=∠ACD=90°，
∴Rt△APM∽Rt△ACD，
∴AP：AC=AM：AD，即AP：AM=AC：AD，
又∠PAC=∠MAD，
∴△PAC∽△MAD；

（3）∵△PAC∽△MAD，
∴当△AMD为等腰三角形时，△APC也为等腰三角形．
①当点M在平行四边形内时，如图1．点P只能在EC上．
∵∠APC为钝角，
∴∠PAC=∠PCA，
∴PC=PA，
又∵∠PAB=90°-∠PAC，∠B=90°-∠PCA，
∴∠PAB=∠B，
∴PA=PB，
∴PA=PB=PC=BC=12.5，
即BP=12.5；
②当点M在平行四边形外时，
（i）若P在BC上，如图2．点P只能在BE上．
∵AP＜AC，AP＜PC，
∴CA=CP=20，则BP=5；
（ii）若P在BC的延长线上，如图3．
∵AP＞AC，AP＞PC，
∴CA=CP=20，则BP=45．
综上可知，当△AMD为等腰三角形时，BP的长为12.5或5或45．