Question

如果方程x²+px+q=0（p²-4q≥0）的两个根是x₁，x₂，
（1）求证：x₁+x₂=-p，x₁•x₂=q；
（2）已知关于x的方程x²+mx+n=0，（n≠0）求出一个一元二次方程，使它的两个根分别是已知方程两根的倒数；
（3）已知a，b满足a²-15a-5=0，b²-15b-5=0，求的值．

Answer

（1）利用求根公式求得原方程的两根，然后求其和与积；
（2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1•x2=m．且由已知所求方程的两根为、．则根据韦达定理推知
+==．•==，由此易求得一元二次方程；
（3）根据题意知a，b是方程x2-15x-5=0的两根．所以根据根与系数的关系求得a+b=15，ab=-5，则==-2=-2=-47．
【解析】
（1）证法1：∵x2+px+q=0，
∴．
∴，
∴．
证法2：∵x2+px+q=0的两根为x1，x2．
∴，
即．
∴x1+x2=-p，x1x2=q．

（2）设关于x的方程x2+mx+n=0的两根为x1、x2，则有：x1+x2=-m，x1•x2=n，且由已知所求方程的两根为、．
∴+==．•==，
∴所求方程为x2-x+=0，即nx2+mx+1=0（n≠0）；

（3）∵a，b满足a2-15a-5=0，b2-15b-5=0，
∴a，b是方程x2-15x-5=0的两根．
∴a+b=15，ab=-5，
∴==-2=-2=-47．