Question

如图，二次函数y=-x²+mx+n的图象与y轴交于点N，其顶点M在直线y=-x上运动，O为坐标原点．

（1）当m=-2时，求点N的坐标；
（2）当△MON为直角三角形时，求m、n的值；
（3）已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-4，2），B（-4，-3），C（-2，2），当抛物线y=-x²+mx+n在对称轴左侧的部分与△ABC的三边有公共点时，求m的取值范围．

Answer

（1）利用顶点式得出M点坐标，再利用顶点在直线y=-x上，得出m与n的关系，进而得出n的值，即可得出N点坐标；
（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，再利用△OMN∽△MHO，得出OM2=MH•ON，设M（m，-m），则MH=m，OM2=m2，而ON=-n，得出m2=m×（-n），又m2+n=-m求出n，m的值即可；
（3）由（1）可知，y=-x2+mx-m2-m，当点A（-4，2）在该抛物线上时，-×（-4）2+4m-m2-m=2，求出m的值，再求出直线BC的解析式为：y=x+7，代入抛物线解析式得：x2+（5-2m）x+m2+3m+14=0，令△=0得m的值，进而得出m的取值范围．
【解析】
（1）∵y=-（x-m）2+m2+n，
∴抛物线顶点M坐标为：（m，m2+n），
∵顶点在直线y=-x上，
∴m2+n=-m，
当m=-2时，n=1，
∴点N的坐标为：（0，1）；

（2）若点M在第二象限时，△MON不可能为直角三角形，当点M在坐标原点时，
△MON不存在，若点M在第四象限，当△MON为直角三角形时，显然只有∠OMN=90°，
如图1，过点M在x轴的垂线，垂足为H，
∵∠HOM+∠MON=90°，
∠MON+∠ONM=90°，
∴∠HOM=∠ONM，
∵∠OHM=∠OMN=90°，
∴△OMN∽△MHO，
∴=，
∴OM2=MH•ON，
设M（m，-m），则MH=m，OM2=m2，而ON=-n，
∴m2=m×（-n），
即n=-m①，
又m2+n=-m②，
由①②解得：
m=，n=-；

（3）由（1）可知，y=-x2+mx-m2-m，
当点A（-4，2）在该抛物线上时，
-×（-4）2+4m-m2-m=2，
整理得出：m2+11m+20=0，
解得：m=，
∵在对称轴的左侧，∴m只能取，
∵B（-4，-3），C（-2，2），
设直线BC的解析式为y=ax+b，
则，
解得：，
∴直线BC的解析式为：y=x+7，
代入抛物线解析式得：x2+（5-2m）x+m2+3m+14=0，
令△=0得，（5-2m）2-4（m2+3m+14）=0，
解得：m=-，
∴≤m≤-．