Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD=8，DC=4，∠ABC=90°，∠A=60°．M点、N点是梯形边上的动点，M、N之间的线段长或折线长始终为2，它们同时开始运动，同时停止运动．N点从A点开始先沿AD方向，再沿DC方向，到达C点时停止运动．过M点作MH⊥AB，垂足为H，与BN交于O点，连接HN．设A、N之间的线段长或折线长为x（x＞0）．解答下列问题：
（1）当△AHN为等边三角形时，求x的值；
（2）当MN为线段时，并且△OHB与以O、M、N三点组成的三角形相似，求x的值或x的取值范围；
（3）设△AHN的面积为S，求S关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．

Answer

（1）利用等边三角形的性质得到AN=AH，然后得到AH与AM的关系，从而得到有关x的方程，求解即可；
（2）分当N、M两点都在AD上时和当N、M两点都在DC上时两种情况分类讨论即可；
（3）分当N、M两点都在AD上，即0＜x≤6时、当N点在AD上、M点在DC上，即6＜x≤8时、当N、M两点都在DC上，即8＜x≤10时和当N点在DC上，M点在BC上四中情况分类讨论即可．
【解析】
（1）∵∠A=60°，
∴当AN=AH时，△AHN为等边三角形．
由已知在Rt△MAH中，∠A=60°，
则∠AMH=30°，
∴AH=AM=．
由，解得：x=2，
∴当x=2时，△AHN为等边三角形；

（2）分两种情况讨论：
①当N、M两点都在AD上时，如图1，
过D点作DE⊥AB交AB于E，
∴AE=AD•cosA=8×=4，BE=CD=4，
∴AB=8，…（4分）
∵∠MON=∠BOH，
∴当∠MNO=∠BHO=90°时，△OMN∽△OBH，
此时AN=AB•cosA=8×=4，即x=4；
②当N、M两点都在DC上时，如图2，
∵AB∥CD，
∴在这种情况下，不论x取何值，△OMN与△OHB都相似；
综上所述：当x=4或8≤x＜10时，△OHB与以O、M、N
三点组成的三角形相似．

（3）分以下四种情况：
①当N、M两点都在AD上，即0＜x≤6时，如图1，
过N点作NF⊥AB于F，
∴NF=AN•sinA=，
∴S===；
②当N点在AD上、M点在DC上，即6＜x≤8时，如图3，
过N点作NG⊥AB于G，与①同理NG=，
∵DM=x+2-8=x-6，
∴HB=MC=4-（x-6）=10-x，
∴AH=8-（10-x）=x-2，
∴S===；
③当N、M两点都在DC上，即8＜x≤10时，如图2，
此时△AHN的高为MH，过N点作NE⊥AB于E，
由（2）①可求得MH=DE=，
有②得AH=x-2，
∴S===；
④当N点在DC上，M点在BC上，即10＜x≤12时，如图4，
此时O点、H点与B点重合
∴S=AB，
BC==．