Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连接DE、OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系并说明理由；
（2）若tanC=，DE=2，求AD的长．

Answer

（1）连接OD，BD，求出∠ADB=∠BDC=90°，推出DE=BE=CE，推出∠EDB=∠EBD，∠OBD=∠ODB，推出∠EDO=∠EBO=90°即可；
（2）BD=x，CD=2x，在Rt△BCD中，由勾股定理得出（x）2+（2x）2=16，求出x，求出BD，根据tan∠ABD=tanC求出AD=BD，代入求出即可．
【解析】
（1）DE与⊙O相切，
理由如下：连接OD，BD，
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴DE=BE=CE（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半），
∴∠EDB=∠EBD，
∵OD=OB，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠OBD+∠DBE=∠ODB+∠EDB，
即∠EDO=∠EBO=90°，
∴OD⊥DE，
∵OD是半径，
∴DE与⊙O相切．

（2）∵tanC==，可设BD=x，CD=2x，
∵在Rt△BCD中，BC=2DE=4，BD2+CD2=BC2
∴（x）2+（2x）2=16，
解得：x=±（负值舍去）
∴BD=x=，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠C+∠DBC=90°，
∴∠ABD=∠C，
∴tan∠ABD=tanC，
∵tan∠ABD==，
AD=BD=×=．
答：AD的长是．