Question

已知：等腰三角形ABC的两腰AC和BC长为5厘米，底边AB长为6厘米，如图，现有一长为1厘米的线段MN在△ABC的底边AB上沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为t秒．
（1）t=______时，Q点与C重合；此时PM=______厘米；
（2）线段MN在运动的过程中，t为何值时，四边形MNQP恰为矩形？并求出该矩形的面积；
（3）线段MN在运动的过程中，四边形MNQP的面积为S，运动的时间为t．求P、Q两点都在AC边上时四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式；
（4）简要说明从运动开始到终止四边形MNQP的面积S是如何变化的．

Answer

（1）Q点与C重合时，先由等腰三角形三线合一的性质得出AN=AB=3，则AM=AN-MN=2，根据时间=路程÷速度求出t的值；然后在Rt△ACN中，运用勾股定理得到CN=4，再由PM∥CN，
得出△APM∽△ACN，根据相似三角形对应边的比相等即可求出PM的长；
（2）过点C作CD⊥AB，垂足为D．当PQ∥AB时即可得出四边形MNQP是矩形，根据特殊角的三角函数值求出四边形MNQP的面积；
（3）P、Q两点都在AC边上时，先利用∠A的正切值表示出PM、QN，然后根据梯形的面积公式列式整理即可得到S与t的函数关系式；
（4）分别求出点P在AC上，点Q在BC上与点P、Q都在BC上时四边形MNQP的面积，结合（3）得出线段MN在整个运动过程中四边形MNQP的面积S随运动时间t变化的函数关系式，根据函数的增减性即可求解．
【解析】
（1）Q点与C重合时，如图1．
∵AC=BC=5，AB=6，CN⊥AB，
∴AN=BN=AB=3，
∵MN=1，
∴AM=AN-MN=3-1=2，
∵MN的运动速度为1厘米/秒，
∴t=2÷1=2（秒）．
在Rt△ACN中，∵∠ANC=90°，
∴CN===4．
∵PM∥CN，
∴△APM∽△ACN，
∴=，即=，
∴PM=．
故答案为2，；

（2）如图2，过点C作CD⊥AB，垂足为D，则AD=3，
当MN运动到被CD垂直平分时，四边形MNQP是矩形，
即当AM=3-=时，四边形MNQP是矩形，
∴t=秒时，四边形MNQP是矩形，
∵PM=AMtan∠A=×=，MN=1，
∴S四边形MNQP=PM•MN=．
故t为秒时，四边形MNQP恰为矩形，此时矩形的面积为平方厘米；

（3）如图3，当0≤t≤2时，点P、Q都在AC上，并且四边形PMNQ为直角梯形，
在Rt△AMP中，∵AM=t，tan∠A==，
∴PM=AM=t，
在Rt△ANQ中，∵AN=AM+MN=t+1，tan∠A==，
∴QN=AN=（t+1），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（t+1）]=t+；

（4）当2＜t≤3时，如图4，点P在AC上，点Q在BC上，
∵PM=t，BN=AB-AM-MN=6-t-1=5-t，
在Rt△BNQ中，
∵QN=BN=（5-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[t+（5-t）]×1=；
当3＜t≤5时，点P、Q都在BC上，
∵BM=6-t，BN=5-t，
∴PM=BM=（6-t），QN=BN=（5-t），
∴S四边形MNQP=（PM+QN）MN=[（6-t）+（5-t）]=-t+．
故S=，
即当0≤t≤2时，四边形MNQP的面积S随t的增大而增大，当t=2时，达到最大值；当2＜t≤3时，四边形MNQP的面积S=；当3＜t≤5时，四边形MNQP的面积S随t的增大而减小．