Question

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D是AB的中点，BE平分∠ABC，分别交AC、CD于点E、F，过点E作EG∥AB，分别交BC、CD于点G、O，连接DG．下列结论：
①EG=AE；②∠BGD=∠BDG；③S_△ABE=2S_△CBE；④DF=BG；⑤AC=（+1）CF．
其中正确结论的个数为（ ）

A．2个
B．3个
C．4个
D．5个

Answer

过点E作EH⊥AB于H，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得EH=EC，然后判断出△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得AE=EH，EG=EC，从而得到EG=AE，判断出①正确；根据等腰直角三角形的性质，BG=EG=CG，BD=（CG+CG），求出BG≠BD，所以∠BGD≠∠BDG，判断出②错误；AE=EH=CE，根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求出S△ABE=S△CBE，判断出③错误；求出△BDF和△BCE相似，根据相似三角形对应边成比例求出==，根据角平分线的定义求出∠CBE=22.5°，然后求出∠BEG=22.5°，从而得到∠CBE=∠BEG，根据等角对等边可得BG=EG，再根据EG=CE整理即可得到DF=BG，判断出④正确；根据等腰直角三角形的性质可得BC=CD，再根据CF=CD-DF整理即可得解，判断出⑤正确．
【解析】
如图，过点E作EH⊥AB于H，
∵BE平分∠ABC，
∴EH=EC，
∵∠ACB=90°，AC=BC，EG∥AB，
∴△ABC、△AEH和△ECG都是等腰直角三角形，
∴AE=EH，EG=EC，
∴EG=AE，故①正确；

由等腰直角三角形的性质可得，BG=EG=CG，BD=（CG+CG）=（+1）CG，
∴BG≠BD，
∴∠BGD≠∠BDG，故②错误；

又∵AE=EH=CE，
∴S△ABE=S△CBE，故③错误；

∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠CBE=22.5°，
∵点D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∴∠BDF=∠ACB=90°，
∴△BDF∽△BCE，
∴==，
又∵∠BEG=∠CGE-∠CBE=45°-22.5°=22.5°，
∴∠CBE=∠BEG，
∴BG=EG，
又∵EG=CE，
∴DF=CE=×BG=BG，故④正确；

由等腰直角三角形的性质可得，BC=CD，
CF=CD-DF=BC-BG，
∵CG=EG=BG，
∴BC=BG+BG，
∴BG=（2-）BC，
∴CF=BC-（2-）BC=（-1）BC，
∴BC=CF=（+1）CF，
∴AC=（+1）CF，故⑤正确．
综上所述，正确的有①④⑤共3个．
故选B．