Question

如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，⊙C的圆心坐标为（-2，-2），半径为．函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，点P为线段AB上一动点（包括端点）．
（1）连接CO，求证：CO⊥AB；
（2）若△POA是等腰三角形，求点P的坐标；
（3）当直线PO与⊙C相切时，求∠POA的度数；
（4）当直线PO与⊙C相交时，设交点为E、F，点M为线段EF的中点，令PO=t，MO=s，求s与t之间的函数关系，并写出t的取值范围；设点M为线段EF的中点，试写出点M的运动轨迹，并直接写出点M运动轨迹的长度．

Answer

（1）利用一次函数与坐标轴交点求法得出A，B坐标，进而得出∠COG=45°，∠AOD=45°，即可得出答案；
（2）利用①当OP=OA时，②当OP=PA时，③当AP=AO时分别得出P点坐标；
（2）利用切线的性质以及点的坐标性质得出∠POA的度数；
（4）根据已知得出△COM∽△POD，进而得出MO•PO=CO•DO，即可得出s与t的关系，进而求出t的取值范围，再利用点M的运动轨迹是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，得出答案即可．
【解析】
（1）延长CO交AB于D，过点C作CG⊥x轴于点G．
∵函数y=-x+2图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，
∴x=0时，y=2，y=0时，x=2，
∴A（2，0），B（0，2），
∴AO=BO=2．
又∵∠AOB=90°，
∴∠DAO=45°．
∵C（-2，-2），
∴∠COG=45°，∠AOD=45°，
∴∠ODA=90°．
∴OD⊥AB，即CO⊥AB；

（2）要使△POA为等腰三角形．
①当OP=OA时，P的坐标为（0，2），
②当OP=PA时，由∠OAB=45°，所以点P恰好是AB的中点，
所以点P的坐标为（1，1），
③当AP=AO时，则AP=2，
过点作PH⊥OA交OA于点H，
在Rt△APH中，则PH=AH=，
∴OH=2-，
∴点P的坐标为（2-，）；

（3）如图2，当直线PO与⊙C相切时，设切点为K，连接CK，
则CK⊥OK．由点C的坐标为（-2，-2），
可得：CO=．
∵sin∠COK===，
∴∠POD=30°，又∠AOD=45°，
∴∠POA=75°，
同理可求得∠POA的另一个值为45°-30°=15°；

（4）∵M为EF的中点，
∴CM⊥EF，
又∵∠COM=∠POD，CO⊥AB，
∴△COM∽△POD，
所以，即MO•PO=CO•DO．
∵PO=t，MO=s，CO=，DO=，
∴st=4．
但PO过圆心C时，MO=CO=，PO=DO=，
即MO•PO=4，也满足st=4．
∴s=，
∵OP最小值为，当直线PO与⊙C相切时，∠POD=30°，
∴PO==，
∴t的取值范围是：≤t＜，
由（3）可得，点M的运动路线是以点Q为圆心（Q点为OC与⊙C的交点），为半径的一段圆弧，
 可得⊙C和⊙Q是两个等圆，可得∠GQK=120°
 弧GQK为实际运动路径，弧长=．