Question

如图，已知正方形OABC的两个顶点坐标分别是A（2，0），B（2，2）．抛物线y=x²-mx+m²（m≠0）的对称轴交x轴于点P，交反比例函数y=（k＞0）图象于点Q，连接OQ．
（1）求抛物线的顶点坐标（用含m的代数式表示）；
（2）当m=k=2时，求证：△OPQ为等腰直角三角形；
（3）设反比例函数y=（k＞0）图象交正方形OABC的边BC、BA于M、N两点，连接AQ、BQ，有S_△ABQ=4S_△APQ．
①当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B吗？为什么？
②连接OM、ON、MN，试分析△OMN有可能为等边三角形吗？若可能，试求m+2k的值；若不可能，请说明理由．

Answer

（1）利用配方法求出顶点坐标即可；
（2）利用m=k=2得出k的值，进而得出P，Q点坐标，即可得出△OPQ是等腰直角三角形；
（3）①根据S△ABQ=4S△APQ得出AB•AP=4×AP•PQ，即AB=4PQ，进而得出点Q的纵坐标为或-（负值舍去），再求出m的值，将B点代入即可；
②首先判断得出Rt△COM≌Rt△AON，进而得出∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°，求出N点坐标，得出反比例函数解析式，进而得出m的值．
【解析】
（1）∵y=x2-mx+m2=（x2-2mx）+m2=（x-m）2，
∴顶点为（m，0）；

（2）∵m=k=2，
∴k=4，
∴y=x2-2x+2；
y=，
如图1，抛物线对称轴为x=2，
∴点P（2，0）．∴Q（2，2），
连结OQ，∵OP=PQ=2，
∴△OPQ是等腰直角三角形；

（3）①如图2，
∵正方形OABC，顶点A（2，0），B（2，2），
∴OA=AB=BC=2．
∵M为BC中点，
∴CM=1，M（1，2）．
∴y=
∵S△ABQ=4S△APQ
∴AB•AP=4×AP•PQ，即AB=4PQ，
∴PQ=AB=×2=，
∴点Q的纵坐标为或-（负值舍去），
∴P（4，0），代入y=x2-mx+m2
解得：m=4，
∴抛物线解析式为y=x2-4x+8．
将B（2，2）代入y=x2-4x+8，成立．
∴当M为BC边的中点时，抛物线能经过点B，
（其它方法可酌情给分）
②有可能
如图3所示，当△OMN为等边三角形时，∠MON=60°，OM=ON，
在Rt△COM和Rt△AON中
，
∴Rt△COM≌Rt△AON，
∴∠COM=∠AON，
又∵∠COA=90°，∴∠COM+∠AON=30°，
∴∠COM=∠AON=15°．
作线段ON的垂直平分线，交x轴于点D，连结DN，
则DO=DN．
∴∠DNO=∠DON=15°，∠DNA=30°．
设N（2，t），则DO=DN=2t，AD=t．
∴OA=DO+DA=2t+t=2，
解得：t=4-2，
∴N（2，4-2），
∴k=2（4-2）=8-4，
∴反比例函数解析式为y=，
由①知，点Q的纵坐标为或-．
当y=时，如图4，=，
解得：x=16-8，
即m=16-8，
∴m+2k=16-8+2（8-4）=32-16，
当y=-时，如图5，=-，
解得：x=-16+8，
即m=-16+8，
∴m+2k=-16+8+2（8-4）=0．