Question

如图，设四边形ABCD是边长为1的正方形，以正方形ABCD的对角线AC为边作第二个正方形ACEF，再以第二个正方形的对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去…．
（1）记正方形ABCD的边长为a₁=1，依上述方法所作的正方形的边长依次为a₂，a₃，a₄，…，a_n，求出a₂，a₃，a₄的值．
（2）根据以上规律写出第n个正方形的边长a_n的表达式．

Answer

（1）求a2的长即AC的长，根据直角△ABC中AB2+BC2=AC2可以计算，同理计算a3、a4．
（2）由（1）知，a2=a1，a3=a2…，an=an-1可以找出第n个正方形边长的表达式．
【解析】
（1）a2=AC，且在直角△ABC中，AB2+BC2=AC2，
∴a2=a1=，
同理a3=a2=a1=2，
a4=a3=a1=2；

（2）由（1）结论可知：
a2=a1=，
a3=a2=a1=2，
a4=a3=a1=2；
…
故找到规律
an=a1=．