Question

如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，6），B（8，0），动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P，Q移动的时间为t（s）．当t为何值时，△APQ与△AOB相似？并求出此时点P与点Q的坐标．

Answer

若△APQ与△AOB相似，则因为A与A对应，所以只有两种情况，P与O对应或者P与B对应．
【解析】
若△APQ与△AOB相似，有两种情况．
∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，
∴AB=10．设Q点的坐标是（x，y）．
（1）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，，，即t=s，
∴AP=，
∴OP=0A-AP=．
∴BQ=，
∴x=OB-BQ•cosB=8-×=，
过Q作QC⊥OB于C，
y=QC=QBsinB=，
P（0，），Q（，）

（2）当P与O对应时，△APQ∽△AOB，
∴=，即=，
解得：t=，
∴AP=，OP=OA-AP=，
∴BQ=，
∴x=OB-BQ•cosB=8-×=，y=QBsinB=×=．
所以P（0，），Q（），
当P与B对应时，△APQ∽△ABO，
∴，即，
解得：t=，
∴AP=，OP=OA-AP=．
∴BQ=，
∴x=OB-BQ•cosB=8-×=，y=QBsinB=×=．
所以P（0，）Q（，），
综上，P（0，），Q（）或者P（0，）Q（，）．