Question

如图，将一次函数的图象上一点A（a，b），沿竖直方向向上移动6个单位，得到点B，再沿水平方向向右移动8个单位，得到点C．以AC为直径作圆E，设垂直于y轴的直线DT与圆E相切于点D．
（1）求证：点C在一次函数的图象上；
（2）求三角形ADC的面积；
（3）当点D在x轴上时，求点A的坐标．

Answer

（1）由题意知：C点是由A上移6个单位，再右移8个单位得出的点，那么根据A的坐标为（a，b），那么C点的坐标就是（a+8，b+6），因此可将C的横坐标代入y=x中，我们发现得出的值，同A的横坐标代入后得出的值是相同的．因此C点在直线y=x上．
（2）求三角形ADC的面积就要求出高和底，题中我们知道了AB、BC的值，在直接三角形ABC中，用勾股定理就能求出AC的长，下面求出AC边上的高即可，过点D作DH⊥AC于H，连接ED．DH就是所求的AC边上的高，ED⊥DT，因为DT∥x轴（或者与x轴重合），而AB⊥x轴，那么AB∥DE，∠BAC=∠DEA，这样我们就能求出直角三角形ABC与直角三角形EDH相似，也就能得出BC、AC、DE、DH的比例关系，已经由了BC，AC，ED的长，那么DH就能求出来了，有了DH，AC那么三角形ACB的面积就可以得出．
（3）连接AF，DE后我们可发现，AF∥ED，那么就容易证得三角形OAF和OED相似，于是便可得出
（1）证明：由题意知，点C的坐标为（a+8，b+6），
把x=a+8代入y=x得，
y=（a+8）=a+6，
由于点A（a，b）在直线y=x上，
则b=，所以y=b+6，
故点C在一次函数y=x的图象上．

（2）【解析】
不妨设直线DT与⊙E切于点E下方时，如图所示，
过点D作DH⊥AC于H，连接ED，
∵BC⊥y轴，AB⊥x轴，
∴∠ABC=90°．
∵直线DT是⊙E的切线，
∴DT⊥DE，而DT∥x轴，或与x轴重合．
∵DE∥AB，
∴∠BAC=∠DEA．
∵∠ABC=∠DHE=90°，
∴△ABC∽△EHD．
∵AB=6，BC=8，
∴Rt△ABC中，AC==10，
∴DE=AC=5，
∴，
∴DH===4，
∴S△ADC=×10×4=20（平方单位）．

（3）【解析】
如图，
当点E位于x轴上方时，延长AB交x轴于F，
∵AF∥ED，
∴△OAF∽△OED，
∴，
设OF=x，则AF=x，OD=x+4，
∴=，
解得，x=，
∴y=x=×=2，
∴点A的坐标为（，2），
同理可得，当点E位于x轴下方时（如下图所示），由对称性可求点A的坐标为（-，-8）．
综上所述，点A的坐标为A1（，2）、A2（-，-8）．