Question

在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm．
（1）求BC的长；
（2）点P为斜边BC上的一个动点（P与B、C不重合），PC=xcm，以点P为中心把△ABC按逆时针方向旋转90°至△DEF．
①当点P在如图所示的位置时，DF交AC、BC分别于点N、Q，EF交AC于点M，求MF的长；
②设△DEF与△ABC重叠部分的面积为ycm²，求出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．

Answer

（1）因为ABC为直角三角形，由两条边的长结合勾股定理求解即可．
（2）①由条件EF⊥BC于P，∠MPC=90°得出△PMC∽△ABC，根据比例关系求出MP的长，即可得出FM的长．
②先根据题意结合图形求出x的取值范围，得出当x=时为分界点，当x在不同区间时，面积有不同的求解方法，分不同的区间求解即可．
【解析】
（1）∵在直角三角形ABC中，∠A=90°，AB=3cm，AC=4cm，
∴根据勾股定理得BC=5cm．

（2）①∵绕点P旋转90°，EF⊥BC于P，∠MPC=90°
又∠C=∠C，
∴△PMC∽△ABC，
∴=，
∴MP=，
∵PC=PM=x，
∴FM=．
②当A与N重合时．
由PC=x可得MC=，AM=4-
△FNM∽△CPM，
解得x=；
当A与M重合时，容易求得x=，
i）当0＜x≤时
y=S△FPQ-S△FNM=S△CPM-S△FNM=；
ii）当＜x≤时
y=S△ABC-S△CPM=6-；
iii）当＜x＜5时，
y=S△MPB=．