Question

如图，正方形ABCD的顶点A、B在x轴的负半轴上，定点C、D在第二象限．将正方形ABCD绕点A按顺时针方向旋转，B、C、D的对应点分别为B₁、C₁、D₁，且D₁、C₁、O三点在一条直线上．记点D₁的坐标是（m，n）．
（1）设∠DAD₁=30°，n=，
①求正方形ABCD的边长；
②求直线D₁C₁的解析式；
（2）若∠DAD₁＜90°，m，n满足m+n=-2，点C₁和点O之间的距离是，求直线D₁C₁的解析式．

Answer

（1）①过D1作D1E⊥x轴于E，由∠DAD1=30°，AD∥D1E得到∠AD1E=30°，而D1E=n=，由此即可求出正方形的边长；
②根据旋转得∠B1AO=30°=．∠DAD1=30°，由此得到直线D1C1的解析式的k=-tan30°，又经过O，所以解析式即可求出
（2）如图，过C1作直线GF∥y轴，交D1F于F，其中D1F∥x轴，根据已知条件证明△D1AE≌△D1C1F，了用全等三角形的性质得到D1E=D1F，而m+n=-2，由此可以得到G的坐标，从而求出GC1=1，求出C1坐标为（-2，1），
再利用D1、C1、O三点在一条直线上，即可得出直线D1C1的解析式．
【解析】
（1）①如图，过D1作D1E⊥x轴于E，
∵∠DAD1=30°，AD∥D1E，
∴∠AD1E=30°，
又n=
∴AD1=2，
即正方形ABCD的边长为2；

②∵∠DAD1=30°，
∴∠B1AO=30°=∠DAD1=30°，
而D1、C1、O三点在一条直线上，
∴直线D1C1的解析式为y=-tan30°x，
即y=-x；

（3）如图，过C1作直线GF∥y轴，交D1F于F，
其中D1F∥x轴，
∵AD1=D1C1，
∠D1EA=∠D1FC1=90°，
∠D1AE=∠D1C1F，
∴△D1AE≌△D1C1F，
∴D1E=D1F，
又m+n=-2，①
∴G（-2，0）
而OC1=，
∴GC1=1
∴C1坐标为（-2，1），
∵D1、C1、O三点在一条直线上，
设C1O所在直线为：y=kx，将（-2，1）代入得：
∴k=-，
∴直线D1C1的解析式为y=-x．