Question

操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点．如图①、②、③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，研究：
（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD与PE之间有什么数量关系？并结合图②说明理由．
（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长）；若不能，请说明理由．

Answer

（1）连接PC，通过证明△PCD≌△PBE，得出PD=PE．
（2）分为点C与点E重合、、CE=1、E在CB的延长线上四种情况进行说明．
【解析】
（1）由图①可猜想PD=PE，再在图②中构造全等三角形来说明．即PD=PE．
理由如下：
连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，
∴CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACB=45°．
∴∠ACP=∠B=45°．
又∵∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE，
∴∠DPC=∠BPE．
∴△PCD≌△PBE．
∴PD=PE．

（2）△PBE是等腰三角形，
①当PE=PB时，此时点C与点E重合，CE=0；
②当BP=BE时，E在线段BC上，；E在CB的延长线上，；
③当EP=EB时，CE=1．