Question

如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心OB为半径的圆与AB交于点E，与AC交于点D，连接DE、DE、OC，且DE∥OC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若DE•OC=8，求⊙O的半径．

Answer

（1）先由OD=OE，利用等边对等角可得∠2=∠3，再利用DE∥OC；进而利用平行线的性质，可得∠3=∠4，∠1=∠2，等量代换可得∠1=∠4；再结合OB=OD，OC=OC，利用SAS可证△DOC≌△BOC，那么∠CDO=∠CBO，而∠ABC=90°，于是∠CDO=90°，即CD是⊙O的切线；
（2）由（1）可知∠2=∠4，而∠CDO=∠BDE=90°，易证△CDO∽△BDE，可得比例线段，OD：DE=OC：BE，又BE=2OD，可求OD．
（1）证明：连接OD，
∵OE=OD，
∴∠2=∠3，
又∵DE∥OC，
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴∠1=∠4；
在△DOC和△BOC中，OD=OB，∠1=∠4，OC=OC，
∴△DOC≌△BOC，
∴∠CDO=∠CBO；
∵∠ABC=90°，
∴∠CDO=90°，
∴CD是⊙O的切线；

（2）【解析】
∵BE是直径，
∴∠BDE=90°，
在△COD和△BED中，∠2=∠4，∠EDB=∠ODC=90°，
∴△COD∽△BED，
∴OD：DE=OC：BE；
又∵BE=2OD，
∴2OD2=DE•OC，
∴OD=2．