Question

如图，在平面直角坐标系中，直线与x，y轴分别交于A、B两点，M是OB上一点，将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在x轴上的点C．
（1）求点C的坐标；
（2）求直线AM的解析式；
（3）设直线l：x=t（-4＜t＜6）与直线AM的交点为P，与过A、B、C三点的抛物线交于点Q，求PQ的最大值．

Answer

由题知，AB沿AM翻转到AC，可通过折叠的性质推出，线段AC=AB，从而求出点C坐标，结合三角形勾股定理和抛物线的解析式，求解出PQ的最大值．
【解析】
（1）当X=0时，y=8；当y=0时，x=6
∴A（6，0），B（0，8）
∴AO=6，BO=8
∵AB2=AO2+BO2
∴AB=10，
依题意得：AC=AB，MC=MB
∴C（-4，0）

（2）在△MOC中，设OM=a，则MC=OB-MO=8-a
∴OC2=MC2-MO2即16=（8-a）2-a2
∴a=3，M（0，3）
设直线MA的解析式为y=kx+b
∴解得：
∴直线MA的解析式为：y=-x+3；

（3）设经过A（6，0），B（0，8），C（-4，0）的抛物线的解析式为：y=ax2+bx+c
∴36a+6b+c=0，
0=16a-4a+c，
8=c
∴a=-，b=，c=8∴y=-x2+x+8
∴直线x=t与直线AM的交点P的坐标：P（t，-t+3），与抛物线y=-x2+x+8的交点坐标Q（t，-t2+t+8）
∴PQ=-t2+t+8-（-t+3）
=-t2+t+5=-（t-）2+
∴当t=时，PQ的最大值为