Question

如图，已知A、B两点的坐标分别为（40，0）和（0，30），动点P从点A开始在线段AO上以每秒2个长度单位的速度向原点O运动、动直线EF从x轴开始以每1个单位的速度向上平行移动（即EF∥x轴），并且分别与y轴、线段AB交于点E、F，连接EP、FP，设动点P与动直线EF同时出发，运动时间为t秒．
（1）求t=15时，△PEF的面积；
（2）直线EF、点P在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PEF的面积等于160（平方单位）？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
（3）当t为何值时，△EOP与△BOA相似．

Answer

（1）由于EF∥x轴，则S△PEF=EF•OE．t=15时，OE=15，关键是求EF．易证△BEF∽△BOA，则，从而求出EF的长度，得出△PEF的面积；
（2）假设存在这样的t，使得△PEF的面积等于160，则根据面积公式列出方程，由根的判别式进行判断，得出结论；
（3）如果△EOP与△BOA相似，由于∠EOP=∠BOA=90°，则只能点O与点O对应，然后分两种情况分别讨论：①点P与点A对应；②点P与点B对应．
【解析】
（1）∵EF∥OA，
∴∠BEF=∠BOA
又∵∠B=∠B，
∴△BEF∽△BOA，（2分）
∴（3分）
当t=15时，OE=BE=15，OA=40，OB=30，
∴（4分）
∴S△PEF=EF•OE=（平方单位）（5分）

（2）∵△BEF∽△BOA，
∴（6分）
∴
整理，得t2-30t+240=0（7分）
∵△=302-4×1×240=-60＜0，∴方程没有实数根．
∴不存在使得△PEF的面积等于160（平方单位）的t值（8分）

（3）当∠EPO=∠BAO时，△EOP∽△BOA（9分）
∴，即（10分）
解得，t=12（11分）
当∠EPO=∠ABO时，△EOP∽△AOB（12分）
∴，即（13分）
解得，（14分）
∴当t=12或时，△EOP∽△BOA（14分）