Question

（1）已知：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为DC上一点，且∠1=∠2，求证：AF=BC+FC；
（2）已知：如图2，把三角尺的直角顶点落在矩形ABCD的对角线交点P处，若旋转三角尺时，它的两条直角边与矩形的两边BC、CD分别相交于M、N，试证：MN²=BM²+DN²．

Answer

（1）在AF上截取AG=AB，连接EG、CG，利用SAS易证△ABE≌△AGE，那么就有BE=GE，∠AGE=90°，而E是BC中点，有BE=CE，于是EG=EC，根据等边对等角有∠EGC=∠ECG，而∠EGF=∠ECF=90°，等量减等量差相等，于是有∠FGC=∠FCG，那么CF=GF，于是可证AF=AG+GF=BC+CF；
（2）延长MP交AD于Q，连接QN，可证PQ=PM，BM=DQ，再证MN=NQ，在△NDQ中用勾股定理可得．

证明：（1）在AF上截取AG=AB，连接EG、CG，
∵AG=AB，∠1=∠2，AE=AE，
∴△ABE≌△AGE，
∴BE=GE，∠AGE=90°，
又∵E是BC中点，
∴BE=CE，
∴CE=GE，
∴∠EGC=∠ECG，
又∵∠EGF=∠ECF=90°，
∴∠EGF-∠EGC=∠ECF-∠ECG，
∴∠FGC=∠FCG，
∴GF=CF，
∴AF=AG+GF=AB+CF=BC+CF；

（2）延长MP交AD于Q，连接QN，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，DP=BP，
∴∠PBM=∠PDQ，
又∵∠QPD=∠MPB，
∴△DPQ≌△BPM，
∴BM=DQ，PQ=PM，
又∵∠MPN=90°，
∴PN是MQ的垂直平分线，
∴MN=NQ，
在Rt△QDN中，有QN2=DN2+DQ2，
即MN2=DN2+BM2．