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(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B...

(1)如图①所示,P是等边△ABC内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转60°得△BCQ,连接PQ.若PA2+PB2=PC2,证明∠PQC=90°;
(2)如图②所示,P是等腰直角△ABC(∠ABC=90°)内的一点,连接PA、PB、PC,将△BAP绕B点顺时针旋转90°得△BCQ,连接PQ.当PA、PB、PC满足什么条件时,∠PQC=90°?请说明.manfen5.com 满分网
(1)由旋转的性质可得到的条件是:①BP=BQ、PA=QC,②∠ABP=∠CBQ; 由②可证得∠PBQ=∠CBP+∠CBQ=∠CBP+∠ABP=∠ABC=60°,联立BP=BQ,即可得到△BPQ是等边三角形的结论,则BP=PQ;将等量线段代换后,即可得出PQ2+QC2=PC2,由此可证得∠PQC=90°; (2)由(1)的解题思路知:△PBQ是等腰Rt△,则PQ2=2PB2,其余过程同(1),只不过所得结论稍有不同. 【解析】 (1)证明:由旋转的性质知:BP=BQ、PA=QC,∠ABP=∠CBQ; ∵△ABC是等边三角形, ∴∠ABC=60°,即∠CBP+∠ABP=60°; ∵∠ABP=∠CBQ, ∴∠CBP+∠CBQ=60°,即∠PBQ=60°; 又∵BP=BQ,∴△BPQ是等边三角形; ∴BP=PQ; ∵PA2+PB2=PC2,即PQ2+QC2=PC2; ∴△PQC是直角三角形,且∠PQC=90°; (2)PA2+2PB2=PC2;理由如下: 同(1)可得:△PBQ是等腰直角三角形,则PQ=PB,即PQ2=2PB2; 由旋转的性质知:PA=QC; 在△PQC中,若∠PQC=90°,则PQ2+QC2=PC2,即PA2+2PB2=PC2; 故当PA2+2PB2=PC2时,∠PQC=90°.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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