Question

关于X的方程．
（1）若方程有两个实数根，求k的范围．
（2）当方程的两根是一个矩形两邻边的长且矩形的对角线长为时，求k的值．

Answer

（1）由于X的方程，由此得到其判别式是非负数，这样就可以确定k的取值范围；
（2）设方程的两根为x1，x2，依题意x12+x22=2，又根据根与系数的关系可以得到x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1，而x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2，这样利用这些等式变形即可求解．
【解析】
（1）依题意△=[-（k+1）]2-4×1×（k2+1）=2k-3≥0，
∴k≥；
（2）设方程的两根为x1，x2，
依题意x12+x22=（）2，
∵x1+x2=k+1，x1•x2=k2+1，
∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1•x2=（k+1）2-2（k2+1）=5，
整理得：k2+4k-12=0，
∴k=-6或k=2，
当k=-6时，x1+x2=k+1=-5＜0，舍去，
∴k=2．