Question

已知抛物线y=-x²+（1-2a）x-a²（a≠0），与x轴交于两点A（x₁，0）、B（x₂，0），（x₁＜x₂）．
（1）求a的取值范围，并说明A、B两点都在y轴的右侧；
（2）若抛物线与y轴交于点C，且OA+OB=3OC，求a的值．

Answer

（1）由于抛物线与x轴有两个不同的交点，那么根的判别式△＞0，可据此求出a的取值范围；
根据韦达定理即可求出x1+x2及x1x2的值，根据所求的a的取值范围来判断上述两式的符号，进而可证得所求的结论；
（2）根据抛物线的解析式，易得到C点的坐标，然后根据韦达定理用a表示出OA+OB及OC的长，进而根据题目给出的等量关系式求出a的值．
【解析】
（1）已知抛物线y=-x2+（1-2a）x-a2（a≠0），
与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）；
∴设y=0，-x2+（1-2a）x-a2=0，
即：x2-（1-2a）x+a2=0
∴△=[-（1-2a）]2-4×a2＞0，
∴a＜且a≠0，
∴2a＜；
∵x1+x2=1-2a＞0，x1x2=a2＞0，
∴A、B两点都在y轴的右侧；

（2）∵A、B两点都在y轴的右侧，
∴OA=x1，OB=x2；
设x=0，则y=-a2，
∴C点坐标为（0，-a2），
∴OC=a2；
∵OA+OB=3OC，
∴1-2a=3a2，
∴a1=，a2=-1；
∵a＜且a≠0，
∴a=-1．