Question

已知△ABC的一条边BC的长为5，另两边AB、AC的长是关于x的一元二次方程x²-（2k+3）x+k²+3k+2=0的两个实数根，
（1）求证：无论k为何值时，方程总有两个不相等的实数根；
（2）k为何值时，△ABC是以BC为斜边的直角三角形；
（3）k为何值时，△ABC是等腰三角形，并求△ABC的周长．

Answer

（1）若要证明方程总有两个不相等的实数根，只需证明△＞0．
（2）若△ABC是以BC为斜边的直角三角形，则根据勾股定理，AB2+AC2=25，再根据根与系数的关系求得k的值即可．
（3）此题要分两种情况进行讨论，若AB=BC=5时，把5代入方程即可求出k的值，若AB=AC时，则△=0，列出关于k的方程，解出k的值即可．
【解析】
（1）因为△=b2-4ac=[-（2k+3）]2-4×1×（k2+3k+2）=1＞0，
所以方程总有两个不相等的实数根．

（2）根据根与系数的关系：AB+AC=2k+3，AB•AC=k2+3k+2，
则AB2+AC2=（AB+AC）2-2AB•AC=25，
即（2k+3）2-2（k2+3k+2）=25，
解得k=2或k=-5．
根据三角形的边长必须是正数，因而两根的和2k+3＞0且两根的积3k+2＞0，解得k＞-
∴k=2．

（3）若AB=BC=5时，5是方程x2-（2k+3）x+k2+3k+2=0的实数根，把x=5代入原方程，得k=3或k=4．
由（1）知，无论k取何值，△＞0，所以AB≠AC，故k只能取3或4．
根据一元二次方程根与系数的关系可得：AB+AC=2k+3，当k=3时，AB+AC=9，则周长是9+5=14；
当k=4时，AB+AC=8+3=11．则周长是11+5=16．