Question

二次函数的图象如图所示，点A位于坐标原点，A₁，A₂，A₃，…，A₂₀₀₉在y轴的正半轴上，B₁，B₂，B₃，…，B₂₀₀₉在二次函数第一象限的图象上，若△AB₁A₁，△A₁B₂A₂，△A₂B₃A₃，…，△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉都为等边三角形，计算出△A₂₀₀₈B₂₀₀₉A₂₀₀₉的边长为    ．

Answer

此题需要从简单的例子入手寻找各三角形边长的规律；可设出△AA1B1的边长为m1，由于此三角形是正三角形，则∠B1AA1=60°，∠B1Ax=30°，可用边长m1表示出B1的坐标，代入抛物线的解析式中，即可得到m1的值，同理可求出△A1B2A2、△A2B3A3的边长，通过观察得到这些三角形边长值的变化规律来求得到△A2008B2009A2009的边长．
【解析】
设△AA1B1的边长为m1；
∵△AA1B1是等边三角形，
∴∠A1AB1=60°，∠B1Ax=30°；
故B1（，）；
由于点B1在抛物线的图象上，则有：
×（m1）2=，解得m1=1；
同理设△A1A2B2的边长为m2；
同上可得B2（，1+）；
由于点B2也在抛物线的图象上，则有：
×（m2）2=+1，解得m2=2；
依此类推，△A2B3A3的边长为：m3=3，
…
△AnBn+1An+1的边长为mn+1=n+1；
∴△A2008B2009A2009的边长为2009．